Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys 2, FMAA50 2025-04-29 1. a)∫ 4π π ( 1√ x − sin(x) ) dx = [ 2 √ x+ cos(x) ]4π π = 4 √ π+1− ( 2 √ π + (−1) ) = 2+2 √ π b) ∫ 4 0 1 x2 + 4x+ 4 dx = ∫ 4 0 1 (x+ 2)2 dx = [ − 1 x+ 2 ]4 0 = −1 6 − ( −1 2 ) = 1 3 c) Variabelsubstitutionen t = x2, följt av partialintegration, ger att ∫ √ π 2 0 x3 cos ( x2 ) dx = [ t = x2, dt dx = 2x, 1 2 dt =

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Loesningar/Solution_Analys_2_FMAA50_0317_2025_04_29.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGSFÖRSLAG MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-03-11 kl. 8.00–13.00 1. Svar: a) 1 3 b) π − 2 8 c) ln 3 Lösningsförslag: a) ∫ 1/4 1/9 1√ x dx = [ 2 √ x ]1/4 1/9 = 2 · 1 2 − 2 · 1 3 = 1 3 b) ∫ π/4 0 sin2 x dx = ∫ π/4 0 1− cos(2x) 2 dx = [ x 2 − sin(2x) 4 ]π/4 0 = π 8 − 1 4 = π − 2 8 c) Andragradspolynomet i integrandens nämnare har nollställena −1 respektive −3, och

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Loesningar/Tentamen_Analys_2_240311_sol.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2023-08-14 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ 8 1 1 x2/3 dx, (0.2) b) ∫ π/3 0 1 cos2 x dx, (0.2) c) ∫ π/3 0 x sinx dx, (0.3) d) ∫ 1 −1 ex 1 + ex dx. (0.3) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) y′ + 2xy = 4xex

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_230814.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-04-08 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ π/2 π/3 cos(3x) dx, (0.2) b) ∫ 6 2 1 x3 dx, (0.2) c) ∫ 5 −1 x+ 3 x+ 2 dx, (0.3) d) ∫ ∞ 2 xe−x2 dx. (0.3) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) ( x2 + 1 ) yy′ = x,

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_240408.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-08-19 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ 5 0 x √ x dx, (0.2) b) ∫ 4 −1 3x− 8 (x+ 2)(x− 5) dx, (0.4) c) ∫ π 0 sinx 1 + cos2 x dx. (0.4) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) x2y′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 1

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_240819.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2025-03-17 kl. 8.00–13.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ √ 5 1 ( x− 2 x2 ) dx, (0.2) b) ∫ 3 1 x+ 6 x2 + 3x dx, (0.4) c) ∫ 4 1 e √ x dx. (0.4) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) y′ − y = 4ex 1 + x2 , y(1) = 0, (0.5) b)

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_250317.pdf - 2025-07-17

TRIGONOMETRISKA FORMLER 1cossin.1 22 =+ xx yxyxyx sincoscossin)sin(.2 ⋅+⋅=+ yxyxyx sincoscossin)sin(.3 ⋅−⋅=− yxyxyx sinsincoscos)cos(.4 ⋅−⋅=+ yxyxyx sinsincoscos)cos(.5 ⋅+⋅=− xxx cossin22sin.6 ⋅=      − − − = 1cos2 sin21 sincos 2cos.7 2 2 22 x x xx x 2 2cos1sin.8 2 xx − = 2 2cos1cos.9 2 xx + =       −= xx 2 cossin.10 π       −= xx 2 sincos.11 π

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Formelblad/Algebra_och_Analys1/TRIGFORMLER.pdf - 2025-07-17

Maclaurinutvecklingar av några elementära funktioner I nedanstående utvecklingar har vi tagit med fyra termer plus en restterm av typen )(tBt n där )(tB är begränsad i en omgivning av noll. )( !3!2 1 4 32 tBttttet ++++= )( 432 )1ln( 5 432 tBtttttt +−+−=+ )( !3 )2)(1( !2 )1(1)1( 432 tBttttt + −− + − +⋅+=+ ααααααα )( !7!5!3 sin 9 753 tBtttttt +−+−= )( !6!4!2 1cos 8 642 tBttttt +−+−= )( 753 arctan 9

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Formelblad/Analys_2/Formelsamling_analys_2__Trig_Maclaurin.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2023-08-22 1. Matrisen A saknar invers då den inte är kvadratisk. Matrisen B har en invers då detB = ∣∣∣∣ 0 √ 3 −1 1/2023 ∣∣∣∣ = 0 · 1 2023 − √ 3 · (−1) = √ 3 ̸= 0. Matrisen C saknar invers då detC = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 2 −3 1 4 −1 5 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−3) · 5 + 1 · 1 · 4 + 2 · 2 · (−1)− 1 · 1 · (−1)− 1 · 2 · 5− 2 · (−3) · 4 = −15

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2023_08_22.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-04-10 1. a) Vinkel vid hörnet Q är ∠PQR = [−→ QP, −→ QR ] . Beräkning ger −→ QP = (−2− 0, 0− 1, 0− 1) = (−2,−1,−1) och −→ QR = (1− 0, 2− 1, 1− 1) = (1, 1, 0). Alltså gäller cos ([−→ QP, −→ QR ]) = −→ QP · −→ QR∥∥∥−→QP ∥∥∥∥∥∥−→QR ∥∥∥ = (−2,−1,−1) · (1, 1, 0) ∥(−2,−1,−1)∥∥(1, 1, 0)∥ = −2− 1 + 0√ 6 · √ 2 = −3√ 2 · √ 3

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_04_10.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-05-31 1. a) Ekvationerna för linjerna på parameterform är ℓ1 : (x, y, z) = (3t, t, 4t) och ℓ2 : (x, y, z) = (2− 4t, 5+ 3t, 7− t) respektive. Skärningen bestäms av ekvationssystemet3t = 2− 4s t = 5 + 3s 4t = 7− s ⇐⇒ 3t +4s = 2 t −3s = 5 4t + s = 7 ←− ←− ⇐⇒  t −3s = 5 3t +4s = 2 4t + s = 7 ←− −3 ←−−−− −4 ⇐⇒

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_05_31.pdf - 2025-07-17

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-08-27 1. a) Skärningen bestäms av ekvationssystemet 1 + t = 1 + 2s 2− t = 5 + s −3− 2t = −1− 2s ⇐⇒  t −2s = 0 −t −s = 3 −2t +2s = 2 ←− 1 ←−−− 2 ⇐⇒  t −2s = 0 −3s = 3 −2s = 2 ←− − 2 3 ⇐⇒  t −2s = 0 −3s = 3 0 = 0 Vi har alltså s = 3 −3 = −1 och t = 2s = 2 · (−1) = −2. Insättning av t = −2 i ℓ1:s ekvation

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_08_27.pdf - 2025-07-17

Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Linjär algebra, FMAA55 2025-04-24 1. a) Linjen ℓ1 har riktningsvektor v = (2 − 1, 3 − 1, 4 − 1) = (1, 2, 3) som ger ekvationen ℓ1 : (x, y, z) = (1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t). Linjen ℓ2 har ekvationen ℓ2 : (x, y, z) = (−4 + 3t, 5 − t, 2 + t). Skärningen bestäms därför av ekvationssystemet1 + t = −4 + 3s 1 + 2t = 5− s 1 + 3t = 2 + s ⇐⇒  t −3s =

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2025_04_24.pdf - 2025-07-17

1 / @ .ki ,J E f (x) = \\,\"~) -c(v) = n-<➔-~ + (-11)-i = ri.( '~) = - ~ ft>vv~---W \-w-$\. ,J.d Saks\M 1 I-\-:.\ o-u b· '1-.-.- _ i " - l 1 b- tp ( +~e-l- 1) ~ -:. O,O'L1 '3:J- l X:: '3Sn WG r(x') - -:::. 'b1- ~ X=- -\1 _ (1,~ - ob) = - V\~ 1)1- e - +="~. 1/\.~-t ucl s.o.lsW.) IA"-l oo ?~ + 1' /Ju - %-=- - 2...1 k.r A. r., f'-A.-( ~ A_ (b 'P { 5ltJ4 \ \~tJ. tro, 'kJ ~e,,l) -- ?( ~\._\,(). r'\ \~

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Loesningar/fmsf30_32_230825_lsg.pdf - 2025-07-17

Matematisk statistik Tentamen: 2024–08–30 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik Lösningsförslag 1. Notering: Denna uppgift liknar Vännman uppgift 2.29, där definitionen av oberoende skall användas. Vi betecknar utfallet med a prickar p̊a första tärningen och b p̊a den andra som (a, b). Vi f̊ar d̊a Ω =  (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Loesningar/fmsf30_32_241029_lsg.pdf - 2025-07-17

Matematisk statistik Tentamen: 2023–10–27 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling • Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren förenklas maximalt • Skriv anonymkod (eller namn om du saknar kod) p̊a varje papper • P̊a omslaget m̊aste du skriva med bläck • Skriv endast p̊a en

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_231027.pdf - 2025-07-17

Matematisk statistik Tentamen: 2024–04–03 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling • Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren förenklas maximalt • Skriv anonymkod (eller namn om du saknar kod) p̊a varje papper • P̊a omslaget m̊aste du skriva med bläck • Skriv endast p̊a en

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_240403.pdf - 2025-07-17

Matematisk statistik Tentamen: 2024–08–30 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Till̊atna hjälpmedel: Miniräknare samt utdelad formelsamling (häftad med tentamen). • Tentamen best̊ar av 6 uppgifter om 1.0 poäng vardera, med delpoäng om minst 0.1 poäng. • Betygsgränser: Betyg 3 (godkänt): 3.0 poäng. Betyg 4: 4.0 poäng. Betyg 5: 5.0 poäng. •

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_240830.pdf - 2025-07-17

FORMELSAMLING FÖR HELSINGBORGSKURSERNA I MATEMATISK STATISTIK Del 1 - Sannolikhetsteori Sannolikhet och händelser • Additionssatsen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • Betingad sannolikhet: P(A |B) = P(A∩B) P(B) • A och B är oberoende ⇐⇒ P(A ∩ B) = P(A) P(B). • Bayes sats: P(A |B) = P(B | A)P(A) P(B) • Satsen om total sannolikhet: P(A) = n∑ i=1 P(A |Hi) P(Hi) om Hi ∩ Hj = ∅ då i ̸= j och ⋃n i

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/formelsamling_matstat_hbg_v6.pdf - 2025-07-17

FORMELSAMLING FÖR HELSINGBORGSKURSERNA I MATEMATISK STATISTIK Del 1 - Sannolikhetsteori Sannolikhet och händelser • Additionssatsen: P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) • Betingad sannolikhet: P(A | B) = P(A\B) P(B) • A och B är oberoende () P(A \ B) = P(A) P(B). • Bayes sats: P(A | B) = P(B | A)P(A) P(B) • Satsen om total sannolikhet: P(A) = nX i=1 P(A | Hi) P(Hi) om Hi \ Hj = ; då i 6= j och Sn

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Sannolikhetsteori_och_diskret_matematik/Formelblad_FMSF40_nyversion.pdf - 2025-07-17